Consideremos novamente o modelo de regressão linear múltipla:
\[
\mathbf{y} = \mathbf{X}\boldsymbol{\beta} + \boldsymbol{\epsilon}
\]
O estimador de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO) dos parâmetros \(\boldsymbol{\beta}\) é dado por:
\[
\hat{\boldsymbol{\beta}} = (\mathbf{X}'\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}'\mathbf{y}
\]
Assumindo que os erros \(\boldsymbol{\epsilon}\) têm esperança zero e variância constante (homocedasticidade):
\[
\mathbb{E}[\boldsymbol{\epsilon}] = \mathbf{0}, \quad \text{Var}(\boldsymbol{\epsilon}) = \sigma^2 \mathbf{I}
\]
A matriz de variâncias-covariâncias dos estimadores \(\hat{\boldsymbol{\beta}}\) é dada por:
\[
\text{Var}(\hat{\boldsymbol{\beta}}) = \text{Var}\left((\mathbf{X}'\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}'\mathbf{y}\right)
\]
Substituindo \(\mathbf{y} = \mathbf{X}\boldsymbol{\beta} + \boldsymbol{\epsilon}\):
\[
\text{Var}(\hat{\boldsymbol{\beta}}) = \text{Var}\left((\mathbf{X}'\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}'(\mathbf{X}\boldsymbol{\beta} + \boldsymbol{\epsilon})\right)
\]
Como \(\mathbf{X}\boldsymbol{\beta}\) é determinístico, temos:
\[
\text{Var}(\hat{\boldsymbol{\beta}}) = \text{Var}\left((\mathbf{X}'\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}'\boldsymbol{\epsilon}\right)
\]
Utilizando a propriedade da variância de uma matriz vezes um vetor aleatório:
\[
\text{Var}(\hat{\boldsymbol{\beta}}) = (\mathbf{X}'\mathbf{X})^{-1}\mathbf{X}' \text{Var}(\boldsymbol{\epsilon}) \mathbf{X} (\mathbf{X}'\mathbf{X})^{-1}
\]
Substituindo \(\text{Var}(\boldsymbol{\epsilon}) = \hat{\sigma^2} \mathbf{I}\), obtemos:
\[
\boxed{\text{Var}(\hat{\boldsymbol{\beta}}) = \hat{\sigma^2} (\mathbf{X}'\mathbf{X})^{-1}}
\]
Portanto, o estimador da matriz de variâncias-covariâncias é:
\[
V(\hat{\beta}) = \hat{\sigma}^2 (X'X)^{-1} = \hat{\sigma}^2
\begin{bmatrix}
V(\hat{\beta_0}) & & \\
COV(\hat{\beta_0},\hat{\beta_1}) & V(\hat{\beta_1}) & \\
COV(\hat{\beta_0},\hat{\beta_2}) & COV(\hat{\beta_1},\hat{\beta_2}) & V(\hat{\beta_2})
\end{bmatrix}
\]
E o estimador do erro-padrão dos parâmetros é:
\[
\boxed{EP(\hat{\beta}) = \sqrt{V(\hat{\beta})}}
\]
- Estas estimativas dos erros padrão dos parâmetros são usadas para calcular estimativas por intervalos de confiança dos parâmetros e para executar os testes de hipóteses.